Question

18．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PD=1，PA=PC=$\sqrt{2}$．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理逆定理可證明AD⊥PD，PD⊥CD即可得出PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得PD⊥AC，結(jié)合AC⊥BD，得出AC⊥平面PBD，從而平面PAC⊥平面PBD．

解答 解：（1）∵PD=1，DC=1，PC=$\sqrt{2}$，
∴PC²=PD²+DC²，
∴PD⊥DC．
同理可證PD⊥AD，又AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB．
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題．