【題目】已知函數(shù),;.
(1)求的最大值;
(2)若對(duì),總存在使得成立,求的取值范圍;
(3)證明不等式.
【答案】
【解析】
試題分析:
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),,時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,也是最大值,所以的最大值為;
(2)若對(duì),總存在使得成立,則轉(zhuǎn)化為,由(1)知,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值,對(duì)求導(dǎo),,分類討論,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上恒成立,在上單調(diào)遞增,只需滿足,,解得,所以;當(dāng)時(shí),時(shí),(舍),當(dāng)時(shí),在上恒成立,只需滿足,,解得,當(dāng),即時(shí),在遞減,遞增,而,在為正,在為負(fù),∴,當(dāng),而時(shí),,不合題意,可以求出的取值范圍。
(3)由(1)知:即, 取,∴,
∴,即∴,等號(hào)右端為等比數(shù)列求和。
試題解析:(1)∵,
∴,
∴當(dāng)時(shí),,時(shí),,
∴,∴的最大值為.
(2),使得成立,等價(jià)于
由(1)知,,當(dāng)時(shí),在時(shí)恒為正,滿足題意.
當(dāng)時(shí),,令,解得,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
若,即時(shí),,∴,∴.
若,即時(shí),在遞減,遞增,而,在為正,在為負(fù),∴,
當(dāng),而時(shí),,不合題意,
綜上的取值范圍為.
(3)由(1)知:即,
取,∴,∴,即
∴
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)只還需另投入16萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬(wàn)只并全部銷售完,每萬(wàn)只的銷售收入為萬(wàn)元,且
(1)寫出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí),該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.
(1)若以表示和為6的事件,求;
(2)現(xiàn)連玩三次,若以表示甲至少贏一次的事件,表示乙至少贏兩次的事件,試問(wèn)與是否為互斥事件?為什么?
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,左右頂點(diǎn)分別為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)記與的面積分別為和,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子,觀察向上的點(diǎn)數(shù),問(wèn):
(1)共有多少種不同的結(jié)果?
(2)所得點(diǎn)數(shù)之和是11的概率是多少?
(3)所得點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如下圖,是等腰直角三角形,,,分別為的中點(diǎn),沿將折起,使得二面角為。
(1)求證:;
(2)求平面與平面夾角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)畫出函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)根據(jù)圖像求不等式的解集(寫答案即可)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“(x﹣1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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