Question

設(shè)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C，D在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸，AD∥y軸，求證：∠CFD=

π

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線(xiàn)斜率為k，直線(xiàn)方程為y=k（x-

p

2

），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則C（-

p

2

，y2），D（-

p

2

，y1），得到直線(xiàn)DF，CF的斜率，觀察斜率的乘積是否為-1即可．

解答： 解：因?yàn)樵O(shè)直線(xiàn)斜率為k，直線(xiàn)方程為y=k（x-

p

2

），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（-

p

2

，y2），D（-

p

2

，y1），
所以k_DF=

y1

-p

，k_CF=

y2

-p

，所以k_DF×k_CF=

y1y2

p2

，
其中

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，化簡(jiǎn)得k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0，所以x1x2=

p2

4

，
y1y2=-2p

x1x2

=-2p×

p

2

=-p2，
所以k_DF×k_CF=-1，
所以DF⊥CF，即∠CFD=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系，本題采用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系解答．