Question

設函數f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos²x-

1

2

cos2x+

1

2

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍；
（Ⅱ）△ABC中，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=1，a+c=4，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期，根據x的范圍確定出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出f（x）的值域；
（Ⅱ）根據f（B）=1，確定出B的度數，利用余弦定理表示出cosB，將B度數及a+c的值代入，并利用基本不等式求出b的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1+cos2x

2

-

1

2

cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴T=π，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

1

2

，1]，
則f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍是[-

1

2

，1]；
（Ⅱ）f（B）=sin（2B-

π

6

）=1，
由0＜B＜π，得-

π

6

＜2B-

π

6

＜

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴b²=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=16-ac，
又ac≤（

a+c

2

）²=4，
∴b²=16-ac≥12，即b≥2

3

，
則b的范圍為：[2

3

，4]．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．