Question

19．已知兩定點(diǎn)M（0，1），N（1，2），平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到M的距離與P到N的距離之比為$\sqrt{2}$，直線y=kx-1與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出是什么圖形；
（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在k使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=11（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，可得點(diǎn)P的軌跡方程，并指出是什么圖形；
（2）利用圓心到此直線的距離小于半徑，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}-4x-6y+9=0\end{array}\right.$消去y：（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）
由已知可得    $|MP|=\sqrt{2}|NP|$，即$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=\sqrt{2}×\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y-2）}^2}}$
整理 x²+y²-4x-6y+9=0，即（x-2）²+（y-3）²=4，其圖形是以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓．…（4分）
（2）直線y=kx-1，即kx-y-1=0，圓心到此直線的距離小于半徑$\frac{|2k-3-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜2$解得 $k＞\frac{3}{4}$…（4分）
（3）設(shè)A（x₁，kx₁-1），B（x₂，kx₂-1），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=11$可得x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）=11，即（k²+1）x₁x₂-k（x₁+x₂）-10=0…①
又由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}-4x-6y+9=0\end{array}\right.$消去y：（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0
由（2）知$k＞\frac{3}{4}$∴${x_1}+{x_2}=\frac{4（2k+1）}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{16}{{1+{k^2}}}$…②
將②代入①可得$16-\frac{{8{k^2}+4k}}{{1+{k^2}}}-10=0$，解得k=1，或k=-3（不滿足$k＞\frac{3}{4}$）舍去，
∴當(dāng)k=1時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=11$成立．…（4分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．