Question

（2007•廣州二模）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則由題意可求a=2，又點C(1，

3

2

)在橢圓E上，代入橢圓方程可求b，可求
當橢圓E的焦點在y軸上時，設其方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），則由題意可得b=2，又點C(1，

3

2

)在橢圓E上，代入可求a，結合橢圓a＞b可求
解法二：設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，可求m，n，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，，設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂，x₁x₂，從而可
求出直線AM的方程，它與直線x=4的交點坐標為P，同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q 通過證明P、Q兩點的縱坐標相等可證P，Q重合即可證
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程，直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂，x₁x₂，從而可求直線AM、直線BN的方程由直線AM與直線BN的方程消去y，可求x=4即可證
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂，x₁x₂，消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．，從而可求直線AM、BN的方程，由直線AM與直線BN的方程消去y得可求x=4即證

解答：解（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則a=2，又點C(1，

3

2

)在橢圓E上，得

1

22

+

9

4b2

=1．解得b²=3．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
當橢圓E的焦點在y軸上時，設其方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），
則b=2，又點C(1，

3

2

)在橢圓E上，得

1

22

+

9

4a2

=1．解得a²=3，這與a＞b矛盾．C(1，

3

2

)
綜上可知，橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                               …（4分）
解法二：設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1.

解得m=

1

4

，n=

1

3

．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                     …（4分）
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，它與直線x=4的交點坐標為P(4，

6y1

x1+2

)，同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q(4，

2y2

x2-2

)．       …（10分）
下面證明P、Q兩點重合，即證明P、Q兩點的縱坐標相等：P
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0．
因此結論成立．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                …（14分）
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)．
直線BN的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x2-2

(x-2)．   …（10分）
由直線AM與直線BN的方程消去y，得x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2]

(x1+x2)+2x2-4

=

2[ 8(k2-3) 3+4k2 - 24k2 3+4k2 +4x2]

8k2 3+4k2 -4+2x2

=

4(- 4k2+6 3+4k2 +x2)

- 4k2+6 3+4k2 +x2

=4．
∴直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                         …（14分）
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．              …（8分）
消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．                               …（10分）
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)．
直線BN的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x2-2

(x-2)．     …（12分）
由直線AM與直線BN的方程消去y得，x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[5(x1+x2)-8-3x1+x2]

x1+3x2-4

=4．
∴直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                     …（14分）

點評：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎知識，考查待定系數(shù)法、分類與整合、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力