Question

20．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 如圖根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，∠F₁PF₂當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)（不妨設(shè)上頂點(diǎn)A）時(shí)最大，要橢圓上存在點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=120°，∠F₁AF₂≥120°，∠F₁AO≥60°，即可，

解答 解：如圖根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，∠F₁PF₂當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)（不妨設(shè)上頂點(diǎn)A）時(shí)最大，
要橢圓上存在點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=120°，
∠F₁AF₂≥120°，∠F₁AO≥60°，sin∠F₁AO=$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故橢圓離心率的取范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
故答案為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，借助平面幾何知識(shí)是關(guān)鍵，屬于中檔題．