Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，A₁B⊥C₁C，AC=BC．
（1）求證A₁A⊥A₁C；
（2）若A₁A=A₁C，求二面角B-A₁C-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題

分析：（1）由A₁A⊥BC，A₁A⊥A₁B證明A₁A⊥平面A₁BC，進(jìn)而證明A₁A⊥A₁C；（2）通過空間直角坐標(biāo)系中向量的運(yùn)算求余弦值．

解答： 解：（1）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC，
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥CC₁
∴A₁A⊥A₁B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系C-xyz．
設(shè)AC=BC=2，
∵A₁A=A₁C，
則A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（1，0，1），C（0，0，0）．

CB

=（0，2，0），

CA1

=（1，0，1），

A1B1

=

AB

=（-2，2，0）．
設(shè)

n1

=（a，b，c）為面BA₁C的一個(gè)法向量，則

n1

•

CB

=

n1

•

CA1

=0，
則

2b=0 a+c=0

取a=1，

n1

=（1，0，-1）．
同理，面A₁CB₁的一個(gè)法向量為

n2

=（1，1，-1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

. n1   . . n2   .

=

6

3

，
∴二面角B-A₁C-B₁的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定定理，用到了面面垂直的定義，也考查了在空間直角坐標(biāo)系中求角的方法，屬于中檔題．