已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上,直線3x-4y+4=0與圓C相切
(1)求圓C的方程
(2)過點(diǎn)Q(0,-3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)且為x1x2+y1y2=3時(shí)求:△AOB的面積.
分析:(I)設(shè)圓心為C(a,0),(a>0),可得圓C的方程的方程.再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得a的值,可得圓C的方程.
(II)依題意:設(shè)直線l的方程為:y=kx-3,代入圓的方程化簡(jiǎn),里哦也難怪根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=
4+6k
1+k2
,x1x2=
9
1+k2
,再由x1x2+y1y2=3,求得k的值,可得∴直線l的方程.求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值,再由S△AOB=
1
2
|AB|•h
,計(jì)算求得結(jié)果.
解答:解:(I)設(shè)圓心為C(a,0),(a>0),則圓C的方程為(x-a)2+y2=4.
因?yàn)閳AC與3x-4y+4=0相切,所以
|3a+4|
32+42
=2
,解得:a=2或a=-
14
3
(舍),
所以圓C的方程為:(x-2)2+y2=4.…(4分)
(II)依題意:設(shè)直線l的方程為:y=kx-3,由
y=kx-3
(x-2)2+y2=4
得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,
∵l與圓C相交于不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
∴△=(4+6k2)-4(1+k2)×9>0,且x1+x2=
4+6k
1+k2
,x1x2=
9
1+k2
,
y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1x2)+9=
9k2
1+k2
-
12k+18k2
1+k2
+9
,
又∵x1x2+y1y2=3,∴
9k2
1+k2
+
9k2
1+k2
-
12k+18k2
1+k2
+9=3

整理得:k2+4k-5=0解得k=1或k=-5(舍).
∴直線l的方程為:y=x-3.…(8分)
圓心C到l的距離d=
|2-3|
2
=
2
2
,在△ABC中,∵|AB|=2•
22-
1
2
=14
,
原點(diǎn)O到直線l的距離,即△AOB底邊AB邊上的高h=
3
2
=
3
2
2

S△AOB=
1
2
|AB|•h=
1
2
14
3
2
2
=
3
2
7
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì),求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.
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(I)求圓C的方程;

(II)過點(diǎn)Q(0,-3)的直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,當(dāng)時(shí),求△AOB的面積.

 

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