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已知向量
a
=(
3
2
sinx,
1
2
cosx),
b
=(cosx,cosx),函數f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若f(A)=
1
2
,a=
3
,S△ABC=
3
2
,求b+c的值.
考點:余弦定理,平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數
專題:解三角形
分析:(1)由兩向量的坐標,以及平面向量的數量積運算法則列出f(x)解析式,利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡,再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數,利用正弦函數的單調性確定出f(x)的遞增區(qū)間即可;
(2)由f(A)=
1
2
,求出A的度數,利用三角形面積公式列出關系式,把sinA與已知面積代入求出bc的值,再利用余弦定理列出關系式,把a,cosA的值代入,利用完全平方公式變形,把bc的值代入計算求出b+c的值即可.
解答: 解:(1)∵
a
=(
3
2
sinx,
1
2
cosx),
b
=(cosx,cosx),
∴f(x)=
a
b
=
3
2
sinxcosx+
1
2
cos2x=
3
4
sin2x+
1
4
cos2x+
1
4
=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
1
4
,
令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ,k∈Z,得到-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ,k∈Z,
則f(x)的單調遞增區(qū)間為[-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ],k∈Z;
(2)由f(A)=
1
2
,得到
1
2
sin(2A+
π
6
)+
1
4
=
1
2
,即sin(2A+
π
6
)=
1
2
,
∴2A+
π
6
=
6
,即A=
π
3
,
∵a=
3
,S△ABC=
3
2
,
∴由三角形面積公式得:
1
2
bcsinA=
3
2
,即bc=2,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-6,
即(b+c)2=9,
解得:b+c=3.
點評:此題考查了余弦定理,平面向量的數量積運算,熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵.
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1
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6
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1
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