Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面， 垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，.

（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：//平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）即點(diǎn)N在線段CD上且

【解析】

（1）取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；

（3）設(shè)，其中，求出，由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值可求得結(jié)論．

（1）證明：取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．

在中，ME為中位線，∴且，

∵且，∴且，

∴四邊形AMED為平行四邊形．

∴．

∵平面SCD，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）解：如圖所示以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

于是，即，

設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則，

將坐標(biāo)代入并取，得．

另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為，

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．

（3）設(shè)，其中．

由于，所以．

所以，

可知當(dāng)，即時(shí)分母有最小值，此時(shí)有最大值，

此時(shí)，，即點(diǎn)N在線段CD上且．