Question

2．如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，M、N分別在AD₁、BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC₁D₁，設(shè)BN=y，MN=x，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由MN∥平面DCC₁D₁，過M點(diǎn)向AD做垂線，垂足為E，則ME=2AE=2BN，由此易得到函數(shù)y=f（x）的解析式，分析函數(shù)的性質(zhì)，并逐一比照四個(gè)答案中的圖象，得到函數(shù)的圖象．

解答 解：MN∥平面DCC₁D₁，
則x=|MN|=$\sqrt{C{D}^{2}+（2BN）^{2}}=\sqrt{4{y}^{2}+1}$，
∴x²=4y²+1，即$y=\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$．
即函數(shù)y=f（x）的解析式為
f（x）=$\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$（x≥1）．
其圖象過（1，0）點(diǎn)，在區(qū)間[1，+∞）上呈凸?fàn)顔握{(diào)遞增．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面平行的性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，根據(jù)已知列出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．