Question

10．在△ABC中，點D為AC的中點，點E在DB的延長線上，且$\overrightarrow{DB}$=2$\overrightarrow{BE}$，點M在線段BE上，若$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，則λ+μ的取值范圍是[1，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運算法則，表示出向量$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{BM}$，寫出向量$\overrightarrow{AM}$，求出λ與μ，計算λ+μ的最值即可．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，點D為AC的中點，
∴$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{DB}$=2$\overrightarrow{BE}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$；
設(shè)$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{BE}$（0≤x≤1），
則$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$
=$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{BE}$
=$\overrightarrow{AB}$+x（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$）
=（1+$\frac{1}{2}$x）$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$x$\overrightarrow{AC}$
=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，
∴λ=（1+$\frac{1}{2}$x），μ=-$\frac{1}{4}$x，
∴λ+μ=1+$\frac{1}{4}$x，
當(dāng)x=0時，λ+μ=1為最小值，
當(dāng)x=1時，λ+μ=$\frac{5}{4}$為最大值，
∴λ+μ的取值范圍是[1，$\frac{5}{4}$]．
故答案為：[1，$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查了平面向量的線性表示與運算問題，也考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．