若n為大于1的自然數(shù)，求證
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
7
13
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：數(shù)學(xué)模型法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：本題可以先構(gòu)造關(guān)于n的函數(shù)，研究其單調(diào)性，得到其最小值，從而得出本題結(jié)論．
解答： 解：記f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，n∈N．
∵f(n+1)-f(n)=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
+
1
2n+2
-(
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
)
=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
=
1
(2n+1)(2n+2)
＞0，
∴f（n+1）＞f（n），
即f（n）在自然數(shù)集上單調(diào)遞增．
∵n為大于1的自然數(shù)，
∴f(n)≥f(2)=
1
3
+
1
4
=
7
12
＞
7
13
．
∴
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
7
13
．
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是構(gòu)造函數(shù)法、放縮法證明不等式，本題有一定的難度，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（3，-1），
b
=（2，1）求：
（1）|
a
+
b
|
（2）求
a
與
b
的夾角
（3）求x的值使x
a
+3
b
與3
a
-2
b
為平行向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱(chēng)為一輪測(cè)試．根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分．
現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時(shí)被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫(xiě)出X的所有可能值組成的集合S；
（Ⅱ）假設(shè)a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求S中每個(gè)元素出現(xiàn)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明恒等式：sin4α+cos4α=
3
4
+
1
4
cos4α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
，寫(xiě)出S1，S2，S3，S4的歸納并猜想出結(jié)果，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù)，其頻率分布表如下．
（1）求a，b的值，并畫(huà)出頻率分布直方圖；（答案寫(xiě)在答題卡上）
（2）用頻率分布直方圖，求出總體的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值．
頻率分布表
分組頻數(shù)頻率頻率/組距
（10，20]20.100.010
（20，30]30.150.015
（30，40]40.200.020
（40，50]ab0.025
（50，60]40.200.020
（60，70]20.100.010

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某地一填從6時(shí)至14時(shí)的溫度函數(shù)變化曲線近似滿(mǎn)足y=Asin（ωx+φ）+b（|φ|＜π）
（1）求這段時(shí)間的最高和最低氣溫；
（2）求A，ω，φ，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)長(zhǎng)度相同，已知直線l的參數(shù)方程為
x=-1+tcosα
y=1+tsinα
（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）若直線l與曲線C相交弦長(zhǎng)為2
3
，求直線l的參數(shù)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

電視臺(tái)某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時(shí)間為20分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為60萬(wàn)；片集乙每片播放時(shí)間為10分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬(wàn)，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節(jié)目時(shí)間（含廣告時(shí)間）．
（1）問(wèn)電視臺(tái)每周應(yīng)播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多；
（2）在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來(lái)a和b（萬(wàn)元）的效益，若廣告公司本周共獲得1萬(wàn)元的效益，記S=
1
a
+
1
b
為效益調(diào)和指數(shù)，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．（取
2
=1.41）

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