Question

18．已知m是兩個(gè)正數(shù)2，8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{m}=1$的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得m=±4，分2種情況討論：當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$表示橢圓，當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$表示雙曲線，分別求出此時(shí)的離心率，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，m是兩個(gè)正數(shù)2，8的等比中項(xiàng)，則有m²=2×8=16，
解可得m=±4，
當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$表示橢圓，
其中a=2，b=1，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$表示雙曲線，
其中a=1，b=2，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
則其離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{5}$；
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓．雙曲線的幾何性質(zhì)，注意m的取值可正可負(fù)，要分2種情況討論．