Question

如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，線段DE經(jīng)過點(diǎn)G，并繞點(diǎn)G轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、E；設(shè)，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表達(dá)式的值，并說明理由；
（2）求△ADE面積的最大和最小值，并指出相應(yīng)的m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將向量用向量表達(dá)，由D、G、E三點(diǎn)共線，即可得到m和n的關(guān)系．
（2）由三角形面積公式，S_ΛADE=mn，由（1）可知=3，由消元法n=，轉(zhuǎn)化為m的函數(shù)求最值即可．
解答：解：（1）如圖延長(zhǎng)AG交BC與F，∵G為△ABC的中心
∴F為BC的中點(diǎn)，則有
∵，，
∴即
∵D、G、E三點(diǎn)共線
∴
故=3

（2）∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴|AD|=m，|AE|=n∴S_ΛADE=mn
由=3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n=，即．
∴S_ΛADE=mn=
設(shè)t=m-則m=t+（）
∴S_ΛADE=mn=（t++）
易知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．
∴t=，即，時(shí)，f（t）取得最小值，
即S_ΛADE取得最小值
又，
∴f（t）取得最大值是，
則S_ΛADE取得最大值，此時(shí)或
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理和向量的表示、求函數(shù)的最值，考查消元和換元等方法．