Question

如圖，已知點(diǎn)G是邊長為1的正三角形ABC的中心，線段DE經(jīng)過點(diǎn)G，并繞點(diǎn)G轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、E；設(shè)

AD

=m

AB

，

AE

=n

AC

，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表達(dá)式

1

m

+

1

n

的值，并說明理由；
（2）求△ADE面積的最大和最小值，并指出相應(yīng)的m、n的值．

Answer 1

分析：（1）將向量

AG

用向量

AD

和AE

表達(dá)，由D、G、E三點(diǎn)共線，即可得到m和n的關(guān)系．
（2）由三角形面積公式，S_ΛADE=

3

4

mn，由（1）可知

1

m

+

1

n

=3，由消元法n=

m

3m-1

，轉(zhuǎn)化為m的函數(shù)求最值即可．

解答：解：（1）如圖延長AG交BC與F，∵G為△ABC的中心
∴F為BC的中點(diǎn)，則有

AF

=

1

2

AB

+

1

2

AC

∵

AD

=m

AB

，

AE

=n

AC

，

AG

=

2

3

AF

∴

3

2

AG

=

1

2m

AD

+

1

2n

AE

即

AG

=

1

3m

AD

+

1

3n

AE

∵D、G、E三點(diǎn)共線
∴

1

3m

+

1

3n

=1
故

1

m

+

1

n

=3

（2）∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴|AD|=m，|AE|=n∴S_ΛADE=

3

4

mn
由

1

m

+

1

n

=3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n=

m

3m-1

，1≤

1

m

≤2即

1

2

≤m≤1．
∴S_ΛADE=

3

4

mn=

3

4

m2

3m-1

設(shè)t=m-

1

3

則m=t+

1

3

（

1

6

≤t≤

2

3

）
∴S_ΛADE=

3

4

mn=

3

12

（t+

1

9t

+

2

3

）
易知f(t)=t+

1

9t

在[

1

6

，

1

3

]為減函數(shù)，在[

1

3

，

2

3

]為增函數(shù)．
∴t=

1

3

，即m=n=

2

3

，時(shí)，f（t）取得最小值

2

3

，
即S_ΛADE取得最小值

3

9

又f(

1

6

)=f(

2

3

)=

5

6

，
∴f（t）取得最大值是

5

6

，
則S_ΛADE取得最大值

3

8

，此時(shí)m=

1

2

，n=

2

5

或m=1，n=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理和向量的表示、求函數(shù)的最值，考查消元和換元等方法．