已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求證:
DA
DB
為定值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過定點(diǎn)?若是,請求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說明理由.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè),寫出類似結(jié)論(不要求書寫求解或證明過程).
情形一:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
及它的左頂點(diǎn);
情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點(diǎn);
情形三:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
及它的頂點(diǎn).
(1)設(shè)雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,則a=1,
b
a
=
2
,得b=
2
,所以,雙曲線C的方程為x2-
y2
2
=1

(2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),其方程為x=-3,A,B的坐標(biāo)為(-3,4)、(-3,-4),
DA
=(-4,4),
DB
=(-4,-4)
,得
DA
DB
=0.
當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí),設(shè)此直線方程為y=k(x+3),由
y=k(x+3)
2x2-y2=2
得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
6k2
2-k2
,x1x2=
-9k2-2
2-k2
,
DA
DB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)

=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1
=(k2+1)
-9k2-2
2-k2
+(3k2-1)
6k2
2-k2
+9k2+1=0.綜上,
DA
DB
=0為定值.
(3)當(dāng)M,N滿足EM⊥EN時(shí),取M,N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M'、N',由對稱性知EM'⊥EN',此時(shí)MN與M'N'所在直線關(guān)于x軸對稱,若直線MN過定點(diǎn),則定點(diǎn)必在x軸上.
設(shè)直線MN的方程為:x=my+t,
x=my+t
b2x2-a2y2=a2b2
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=
-2b2mt
b2m2-a2
,y1y2=
b2(t2-a2)
b2m2-a2

由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0,
(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0,(1+m2)
b2(t2-a2)
b2m2-a2
-m(t-a)
2b2mt
b2m2-a2
+(t-a)2=0
,
化簡得,t=
a(a2+b2)
a2-b2
或t=a(舍),
所以,直線MN過定點(diǎn)(
a(a2+b2)
a2-b2
,0).
情形一:在雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
中,若E'為它的左頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E'),且E'M⊥E'N,則直線MN過定點(diǎn)(-
a(a2+b2)
a2-b2
,0).
情形二:在拋物線y2=2px(p>0)中,若M,N為拋物線上的兩點(diǎn)(都不同于原點(diǎn)O),且OM⊥ON,則直線MN過定點(diǎn)(2p,0).…..(16分)
情形三:(1)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若E為它的右頂點(diǎn),M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,則直線MN過定點(diǎn)(
a(a2-b2)
a2+b2
,0);
(2)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若E'為它的左頂點(diǎn),M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E'),且E'M⊥E'N,則直線MN過定點(diǎn)(
a(b2-a2)
a2+b2
,0);
(3)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若F為它的上頂點(diǎn),M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)F),且FM⊥FN,則直線MN過定點(diǎn)(0,
b(b2-a2)
a2+b2
);        
(4)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若F'為它的下頂點(diǎn),M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)F'),且F'M⊥F'N,則直線MN過定點(diǎn)(0,
b(a2-b2)
a2+b2
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,對稱軸為坐標(biāo)軸,點(diǎn)(-2,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn),并且離心率為
2
3
3

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)M(0,1),設(shè)P(x0,y0)是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),求
MP
MQ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),漸近線方程是3x±2y=0,左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
13
,0)
,A、B為雙曲線C上的兩個(gè)動點(diǎn),滿足
OA
OB
=0.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)求
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
的值;
(Ⅲ)動點(diǎn)P在線段AB上,滿足
OP
AB
=0,求證:點(diǎn)P在定圓上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,P(1,-2)是C上的點(diǎn),且y=
2
x
是C的一條漸近線,則C的方程為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求
DA
DB
的值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(M,N都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,求證:直線MN與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理) 在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點(diǎn)P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個(gè)等式是
4mn=1
4mn=1

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同步練習(xí)冊答案