(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1
分析:根據(jù)
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
是漸進線方向向量,進而可知雙曲線漸近線方程,根據(jù)一個焦點坐標(
5
,0)
,進而求得a和b,求得雙曲線方程,進而根據(jù)
op
=m
e1
+n
e2
,P在雙曲線上,化簡即可.
解答:解:因為c=
5
,所以
e1
=(2,1)
e2
=(2,-1)
是漸進線方向向量,
所以雙曲線漸近線方程為y=±
1
2
x
,
又c=
5
,a=2,b=1雙曲線方程為
x2
4
-
y2
1
=1
,
op
=m
e1
+n
e2
=(2m+2n,m-n),
點P是雙曲線C上的點,
所以
(2m+n)2
4
-(m-n)2=1
,化簡得4mn=1.
故答案為:4mn=1.
點評:本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì).考查了向量的綜合應(yīng)用,學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•楊浦區(qū)二模)(理)在平面直角坐標系xoy中,若在曲線C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ為正實數(shù))代替(x,y)得到曲線C2的方程F(λx,λy)=0,則稱曲線C1、C2關(guān)于原點“伸縮”,變換(x,y)→(λx,λy)稱為“伸縮變換”,λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線C1的方程為
x2
9
-
y2
4
=1
,伸縮比λ=2,求C1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C2的方程;
(2)射線l的方程y=
2
2
x(x≥0)
,如果橢圓C1
x2
16
+
y2
4
=1
經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓C2,若射線l與橢圓C1、C2分別交于兩點A、B,且|AB|=
2
,求橢圓C2的方程;
(3)對拋物線C1:y2=2p1x,作變換(x,y)→(λ1x,λ1y),得拋物線C2:y2=2p2x;對C2作變換(x,y)→(λ2x,λ2y)得拋物線C3:y2=2p3x,如此進行下去,對拋物線Cn:y2=2pnx作變換(x,y)→(λnx,λny),得拋物線Cn+1:y2=2pn+1x,….若p1=1 , λn=(
1
2
)n
,求數(shù)列{pn}的通項公式pn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)在平面直角坐標系xOy中,向量
j
=(0,1)
,△OFQ的面積為2
3
,且
OF
FQ
=m
OM
=
3
3
OQ
+
j

(Ⅰ)設(shè)4<m<4
3
,求向量
OF
FQ
的夾角的取值范圍;
(II)設(shè)以O(shè)為中心,對稱軸在坐標軸上,以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M,且|
OF
|=c,m=(
3
-1)c2
.是否存在點Q,使|
OQ
|
最短?若存在,求出此時橢圓的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(06年上海卷理)(14分)

在平面直角坐標系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點.

(1)求證:“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;

(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(理)在平面直角坐標系xoy中,若在曲線C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ為正實數(shù))代替(x,y)得到曲線C2的方程F(λx,λy)=0,則稱曲線C1、C2關(guān)于原點“伸縮”,變換(x,y)→(λx,λy)稱為“伸縮變換”,λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線C1的方程為,伸縮比λ=2,求C1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C2的方程;
(2)射線l的方程,如果橢圓C1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓C2,若射線l與橢圓C1、C2分別交于兩點A、B,且,求橢圓C2的方程;
(3)對拋物線C1:y2=2p1x,作變換(x,y)→(λ1x,λ1y),得拋物線C2:y2=2p2x;對C2作變換(x,y)→(λ2x,λ2y)得拋物線C3:y2=2p3x,如此進行下去,對拋物線Cn:y2=2pnx作變換(x,y)→(λnx,λny),得拋物線Cn+1:y2=2pn+1x,….若,求數(shù)列{pn}的通項公式pn

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