Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ） 計算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ） 根據(jù)計算結(jié)果，猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式依次計算可得答案；
（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜測：a_n=n²，利用數(shù)學歸納法證明可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，
則a₂=$\frac{1+2}{1}$×a₁+1=4，
a₃=$\frac{2+2}{2}$×a₂+1=9，
a₄=$\frac{3+2}{3}$×a₃+1=16，
a₅=$\frac{4+2}{4}$×a₄+1=25，
（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜測：a_n=n²，
用數(shù)學歸納法證明：
①、當n=1時，a₁=1²=1，即n=1時，a_n=n²成立，
②、假設n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即a_k=k²，
n=k+1時，a_k+1=$\frac{k+2}{k}$×a_k+1=（k+1）²，
即n=1時，結(jié)論也成立，
根據(jù)①②可得：a_n=n²成立．

點評 本題考查數(shù)學歸納法的使用，涉及數(shù)列的表示方法，關鍵是依據(jù)求出數(shù)列的前幾項分析歸納數(shù)列的通項公式．