Question

11．已知直線l：x-2y-5=0，圓C：x²+y²=25．
（Ⅰ）求直線與圓C的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，能求出直線和圓C的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由A（5，0），B（-3，-4），求出AB=4$\sqrt{5}$，直線AB的方程為x-2y-5=0，求出點(diǎn)C（0，0）到直線AB的距離h=$\sqrt{5}$，由此能求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去x，得y²+4y=0，解得y=0或y=-4，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5；當(dāng)y=-4時(shí)，x=-3
所以直線和圓C的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（5，0），B（-3，-4）．…（5分）
（Ⅱ）∵A（5，0），B（-3，-4），
∴AB=$\sqrt{（5+3）^{2}+（0+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
直線AB的方程為：$\frac{y}{x-5}=\frac{-4-0}{-3-5}$，即x-2y-5=0，
點(diǎn)C（0，0）到直線AB的距離h=$\frac{|0-0-5|}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=10．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形的面積公式的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．