Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（3）對(duì)， 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．極小值為，無(wú)極大值．（3）

【解析】試題分析：（1）由題意知函數(shù)的定義域，對(duì)求導(dǎo)，求出在處切線的斜率，聯(lián)系切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出切線方程；（2）由題意得函數(shù)的解析式，對(duì)求導(dǎo)，分別求出和即可求出單調(diào)區(qū)間及極值；（3）對(duì)， 恒成立等價(jià)于對(duì)， ，構(gòu)造新函數(shù)，將求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，求出單調(diào)性及最值，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）由題意知的定義域?yàn)?/span>且， ，

又∵，故切線方程為．

（2）， ，

當(dāng)時(shí)，則， ，此時(shí)， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，則， ，此時(shí)， 在上單調(diào)遞增．　

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)， 取極小值，且極小值為， 無(wú)極大值．

（3）對(duì)， 成立，即，

令，則當(dāng)時(shí)， 恒成立，

因?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，故，

這與恒成立矛盾；

②當(dāng)時(shí)，二次方程的判別式，令，解得，此時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

故，滿足恒成立．　

由，得，方程的兩根分別是， ，其中， ，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增， ，這與恒成立矛盾．

綜上可知： ．