Question

【題目】已知函數(shù).( )

（I）試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（II）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（I）函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，變形為，令，根據(jù)圖像特征討論即可；

（II）根據(jù)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，得（），（），得 ，進(jìn)而利用求范圍即可.

試題解析：

解法1：（I）函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，

由得，令，

則，--------------------2分

由得，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，

由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，----3分

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值， ，

又當(dāng)時(shí)， >0，當(dāng)時(shí)；

當(dāng)時(shí)>0， ，當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)， 與只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 與有兩個(gè)公共點(diǎn)，從而函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（II）設(shè)由（I）知且，

由，得（）

由，得（）

∴ ，

∵∴， ，（兩者僅當(dāng)時(shí)取等號）

∴，又，

∴，

∴，

由得．

解法2：（I）∵， 不是函數(shù)的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得，

設(shè)，則，所以在和上單調(diào)遞減，

當(dāng)且時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)且時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，由，有，

當(dāng)時(shí)，有， ，

所以當(dāng)時(shí)，曲線與只一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

（II）不妨設(shè)，由（I）得，且， ，

由， ，得， ，

∴ ，

∵∴， ，（兩者僅當(dāng)時(shí)取等號）

∴，又，

∴，

∴，由得．