Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=（2a+1）x，若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出定義域、f′（x），分a≥0，a＜0兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），則h（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求函數(shù)h（x）的最大值問(wèn)題．求導(dǎo)數(shù)h′（x），根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間（1，+∞）的關(guān)系進(jìn)行討論可求得函數(shù)的最大值；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+lnx，其中x＞0，
∴f′(x)=

2ax2+1

x

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，得x=±

- 1 2a

，
∴f（x）在(0，

-  1 2a

)上是增函數(shù)，在(

-  1 2a

，+∞)上是減函數(shù)．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
則h（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，
根據(jù)題意，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0恒成立．
∴h′(x)=2ax-(2a+1)+

1

x

=

(x-1)(2ax-1)

x

（1）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，x∈(

1

2a

，+∞)時(shí)，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在(

1

2a

，+∞)上是增函數(shù)，且h(x)∈(h(

1

2a

)，+∞)，不符題意；
（2）當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，且h（x）∈（h（1），+∞），不符題意；
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（1，+∞）時(shí)，恒有h′（x）＜0，故h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
于是“h（x）＜0對(duì)任意x∈（1，+∞）都成立”的充要條件是h（1）≤0，即a-（2a+1）≤0，
解得a≥-1，故-1≤a≤0．
綜上所述，a的取值范圍是[-1，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．