Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，其圖象上相鄰的最高點和最低點的距離為$\sqrt{5}$．
（I）求f（x）的解析式及對稱中心；
（II）求函數f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和誘導公式以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象上相鄰的最高點和最低點的距離為$\sqrt{5}$．求出相鄰的最高點和最低點橫坐標的距離就是$\frac{1}{2}T$，可得T的值，從而求出ω．可得f（x）的解析式及對稱中心；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（I）函數f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
設函數f（x）的最小正周期為T，
∵圖象上相鄰的最高點和最低點的距離為$\sqrt{5}$．相鄰的最高點和最低點縱坐標的差為2．
∴相鄰的最高點和最低點橫坐標的距離為$\frac{1}{2}T$=5-4
∴T=2，即$\frac{2π}{2ω}=2$，
∴ω=$\frac{π}{2}$．
則f（x）的解析式為：f（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$）
令πx-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
可得：x=k$+\frac{1}{6}$．
∴f（x）的對稱中心為（$k+\frac{1}{6}，0$），k∈Z；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上時，
可得：$-\frac{7π}{6}≤πx-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，
當πx-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為-1．
當πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴函數f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最小值為-1．最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．