Question

已知

a

=（

3

，cosx），

b

=（cos²x，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）最大值，及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，然后化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（2）通過x∈[0，

π

4

]，求出相位的范圍，再求函數(shù)f（x）的最大值，最小值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

2

=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)．
（1）當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

+2kπ即x=

π

12

+kπ，(k∈Z)時(shí)，f（x）取得最大值1．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，∴sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴

1

2

≤f(x)≤1．
函數(shù)f（x）的取值范圍：[

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查通過向量的數(shù)量積解決三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，最值等知識(shí)，考查計(jì)算能力．�？碱}型．