有一條直線與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB與拋物線所圍成的面積恒等于
4
3
，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)A（a，a2），B（b，b2）（a＜b），利用定積分求面積，可得b-a=2，設(shè)線段AB的中點(diǎn)P（x，y），其中x=
a+b
2
，y=
a2+b2
2
，再消參數(shù)，即可求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
解答： 解：設(shè)A（a，a2），B（b，b2） （a＜b）
則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為：S=
∫
b
a
[(a+b)x-ab-x2]dx
=(
a+b
2
x2-abx-
x3
3
)
.
b
a
=
1
6
(b-a)3
∴
1
6
(b-a)3=
4
3
，∴b-a=2  （6分）
設(shè)線段AB的中點(diǎn)P（x，y），其中x=
a+b
2
，y=
a2+b2
2
，
將b-a=2即b=a+2代入得：
x=a+1
y=a2+2a+2

消去a得：y=x2+1
故所求的軌跡方程為：y=x2+1    （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，考查參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（
3
，cosx），
b
=（cos2x，sinx），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-
3
2
．
（1）求函數(shù)f（x）最大值，及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．
（2）若x∈[0，
π
4
]，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（sinx，sinx），設(shè)f（x）=
a
•
b

1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
2）若f（x0）=
1
2
+
3
2
10
，x0∈（
3π
8
，
5π
8
），求cos2x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)P（1，3）作兩互相垂直的直線l1和l2，l1交x軸于點(diǎn)A，l2與y軸交于點(diǎn)B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=-
1
2
ax2+(1-a)x+lnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，令g（x）=f（x）-x，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-e，-1）且與曲線g（x）相切的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-
π
3
）=-1，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ex-
1
2
x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)
a
∥
b
時(shí)，求
cos2x-sin2x
cos2x
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（
a
+
b
）•
b
，求f（x）在[0，
7π
24
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知極坐標(biāo)系的原點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸為x軸正半軸，直線l的參數(shù)方程為
x=-1+
3
t
y=t
（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cosθ．
（1）寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明C是什么曲線？
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|．

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