Question

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx+c，（a，b，c）是常數(shù)）在x=e處的切線(xiàn)方程為（e-1）x+ex-e=0，x=1既是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，又是它的極值點(diǎn)．
（1）求常數(shù)a，b，c的值；
（2）若函數(shù)g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=f（x）-1的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2012

2012

＜

1

2012

．

Answer 1

分析：（1）題目給出了函數(shù)在x=e處的切線(xiàn)方程，則知道了f^′（e），再由x=1既是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，又是它的極值點(diǎn)，可得f（1）=0和f^′（1）=0，三個(gè)式子聯(lián)立可求常數(shù)a，b，c的值；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間（1，3）內(nèi)一定有極值，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)=

1

x

(2x2-mx+m)，此導(dǎo)函數(shù)等于0可轉(zhuǎn)化為二次方程2x²-mx+m=0，然后分該方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)根分類(lèi)討論，對(duì)每一種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象列式可求m的范圍；
（3）把f（x）代入后求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于等于0求得函數(shù)h（x）的減區(qū)間為[1，+∞），根據(jù)函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)，則lnx＜x-1對(duì)一切x∈（1，+∞）都成立，兩邊同時(shí)除以x后得0＜

lnx

x

＜

x-1

x

對(duì)一切x∈（1，+∞）都成立，依次給x代值2，3，…，2012，作積后可得要征得結(jié)論．

解答：解：（1）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=a+

b

x

，
又f（x）在x=e處的切線(xiàn)方程為（e-1）x+ey-e=0，而切線(xiàn)（e-1）x+ey-e=0的斜率為-

e-1

e

，
所以有f′(e)=a+

b

e

=-

e-1

e

  ①
由x=1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，得f（1）=a+c=0  ②
由x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，得f^′（1）=a+b=0  ③
由③得：a=-b，把a(bǔ)=-b代入①得：-b+

b

e

=-1+

1

e

，所以b=1，則a=-1，由②得：a=-c，所以c=1．
所以，a=-1，b=1，c=1．
（2）由（1）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），
因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m （x＞0），
所以g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m) （x＞0）．
要使函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)一定有極值，
而g′(x)=

1

x

(2x2-mx+m)，所以函數(shù)g（x）最多有兩個(gè)極值．
令d（x）=2x²-mx+m （x＞0）．
（�。┊�(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有一個(gè)極值時(shí)，g^′（x）=0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個(gè)根，
即d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有且僅有一個(gè)根，
又因?yàn)閐（1）=2＞0，所以當(dāng)d（3）＜0時(shí)，d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有且僅有一個(gè)根，
即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9．
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí)，g^′（x）=0在（1，3）內(nèi)有兩個(gè)根，
即二次函數(shù)d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有兩個(gè)不等根，
所以

△=(-m)2-4×2×m＞0 d(1)=2-m+m＞0 d(3)=2×32-3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

，
解得：8＜m＜9．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（8，9）∪（9，+∞）．
（3）由h（x）=f（x）-1得：h（x）=-x+lnx （x＞0），所以h′(x)=

1-x

x

，
令h^′（x）≤0，即

1-x

x

≤0，得：x≥1，即h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）．
事實(shí)上，
由函數(shù)h（x）=-x+lnx （x＞0）在[1，+∞）上單調(diào)遞減可知，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜h（1），即-x+lnx＜-1，
亦即lnx＜x-1對(duì)一切x∈（1，+∞）都成立，
不等式兩邊同時(shí)除以x，
亦即0＜

lnx

x

＜

x-1

x

對(duì)一切x∈（1，+∞）都成立，
所以0＜

ln2

2

＜

1

2

，
0＜

ln3

3

＜

2

3

，
0＜

ln4

4

＜

3

4

，
…
0＜

ln2012

2012

＜

2011

2012

，
所以有

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2012

2012

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2011

2012

，
所以

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

ln2012

2012

＜

1

2012

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某區(qū)間（a，b）內(nèi)存在極值，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，考查了函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件，函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，反之，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，該點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，訓(xùn)練了利用放縮法證明不等式．此題具有一定難度．