Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，則滿足f（2x-1）＜f（

1

3

）的x 取值范圍是

1

3

＜x＜

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得，f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），由f（x）對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知：f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，據(jù)單調(diào)性即可去掉不等式中的符號(hào)“f”．轉(zhuǎn)化后解不等式即可求得所求的范圍

解答：解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以f（2x-1）＜f（

1

3

）?f（|2x-1|）＜f（

1

3

），
又由f（x）對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0知，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以|2x-1|＜

1

3

，解得

1

3

＜x＜

2

3

．
故答案為：

1

3

＜x＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由奇偶性把問題轉(zhuǎn)為到區(qū)間[0，+∞）上解決．