Question

用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的：

（1）銀行存折的四位密碼;

（2）四位數(shù);

（3）四位奇數(shù).

Answer 1

思路分析:（1）可以分步選取數(shù)字，作四位密碼的四個(gè)位置上的數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復(fù)；（2）可以分步選取數(shù)字，分別做為千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復(fù).與（1）的不同之處是千位數(shù)字不能為0；（3）四位奇數(shù)的個(gè)位只能是1或3，因此符合條件的四位奇數(shù)可以分為個(gè)位數(shù)字是1和個(gè)位數(shù)字是3的兩類，每一類中再分步.要注意千位數(shù)字不能取0，且所取數(shù)字不能重復(fù).

解:（1）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有2種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N=5×4×3×2=120個(gè).

（2）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2，3,4中選取一個(gè)數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2，3，4中剩余的三個(gè)數(shù)字和0共四個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字做百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)做十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字做個(gè)位數(shù)字，有2種不同的選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N=4×4×3×2=96個(gè).

（3）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，有兩類辦法：第一類辦法是四位奇數(shù)的個(gè)位取數(shù)字為1，這件事可分三個(gè)步驟完成：第一步，從2,3，4中選取一個(gè)數(shù)字做千位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第二步，從2,3，4中剩余的兩個(gè)數(shù)字與0共三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)做百位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第三步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中，選取一個(gè)數(shù)字做十位數(shù)字，有2種不同的選取方法.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一類中的四位奇數(shù)共有

N₁=3×3×2=18個(gè).第二類辦法是四位奇數(shù)的個(gè)位取數(shù)字為3，這件事可分三個(gè)步驟完成.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，第二類中的四位奇數(shù)共有N₂=3×3×2=18個(gè).

最后，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的四位奇數(shù)共有N=18＋18=36.

    方法歸納 如果完成一件事，可以有幾類辦法，這幾類辦法中的任一類辦法都能獨(dú)立的完成這件事，即方法是相互獨(dú)立且互斥的，此時(shí)應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理.如果完成一件事，需分成幾個(gè)步驟進(jìn)行，必須連續(xù)做完每個(gè)步驟才能完成這件事，且各個(gè)步驟是互相依存、缺一不可的，此時(shí)應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理.