Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，準(zhǔn)線方程為，漸近線為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的弦PQ垂直于x軸，求直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線方程及漸近線方程公式得到方程組求出a，b的值，即得到雙曲線的方程．
（2）設(shè)出點(diǎn)P，Q，M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出直線PA，QB的方程，聯(lián)立兩直線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系，代入雙曲線的方程求出交點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，漸近線為．
所以
解得a=1，b=，
所以雙曲線方程為
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），Q（x，-y），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
則可得到直線的方程PA：；
QB：
由得代入方程
得，
又由|x|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程為，（-1＜x＜1且xy≠0）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決曲線的軌跡方程問(wèn)題，常用的方法有：直接法、、交軌法、
定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法等．