Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x²+2ax）e^-x（a∈R）．
（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，試證明f′（x）≤1；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間（1，3）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷；
（Ⅱ）先求導，再求f′（x）=0的值，分類討論即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{（{x^2}+x）}}{e^x}$，f′（x）=（-x²+x+1）e^-x…（1分）
設(shè)g（x）=f′（x），則g′（x）=（x²-3x）e^-x…（2分）
解g′（x）=（x²-3x）e^-x=0得，x=0或x=3…（3分）

x	（-∞，0）	0	（0，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

g（0）=1，g（3）=-5e^-3，且x→+∞時，g（x）=（-x²+x+1）e^-x→0，
所以g（x）的最大值為g（0）=1，
g（x）=f′（x）≤1…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-[x²+2（a-1）x-2a]e^-x…（7分）
解f′（x）=0得，${x_1}=1-a-\sqrt{1+{a^2}}$或${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}$…（8分）

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

…（9分）
∵f′（1）=e^-1＞0（即1∈（x₁，x₂）），解$1-a+\sqrt{1+{a^2}}=3$得$a=-\frac{3}{4}$…（10分）
當$a≤-\frac{3}{4}$時，${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}≥3$，f（x）在區(qū)間（1，3）上的單調(diào)遞增…（11分）
當$a＞-\frac{3}{4}$時，${x_2}=1-a+\sqrt{1+{a^2}}＜3$，f（x）在區(qū)間$（1，1-a+\sqrt{1+{a^2}}）$上的單調(diào)遞增，在區(qū)間$（1-a+\sqrt{1+{a^2}}，3）$上的單調(diào)減…（12分）

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及導數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，考查了運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．