Question

14．已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在y軸上的截距是2，且在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=$\frac{f′（x）}{3（x-2）}$-（m+1）ln（x+m），求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)的截距為2，得c=2，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)區(qū)間，可知-1和2是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)實(shí)根，代入求得a、b的值，即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)，寫(xiě)出f′（x）解析式，求h（x）的解析式，求導(dǎo)，化簡(jiǎn)h′（x）=$\frac{x-1}{x+m}$，分類討論m的取值范圍，利用函數(shù)的定義域及單調(diào)性求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在y軸上的截距是2，
∴f（0）=2，∴c=2，
又∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，（-1，2）上單調(diào)遞減，
f′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個(gè)根為-1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-\frac{2a}{3}}\\{-1×2=\frac{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+2，…（4分）
（2）f′（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m），（x＞-m且x≠2），
∴h′（x）=1-$\frac{m+1}{x+m}$=$\frac{x-1}{x+m}$，…（6分）
當(dāng)m≤-2時(shí)，-m≥2，定義域：（-m，+∞），
h′（x）＞0恒成立，h（x）（-m，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-2＜m≤-1時(shí)，2＞-m≥1，定義域：（-m，2）∪（2，+∞），
h′（x）＞0恒成立，h（x）（-m，2），（2，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞-1時(shí)，-m＜1，定義域：（-m，2）∪（2，+∞），
h′（x）＞0，得x＞1，
h′（x）＜0，得x＜1．
故在（1，2），（2，+∞）上單調(diào)遞增；在（-m，1）上單調(diào)遞減，…（11分）
綜上所述，當(dāng)m≤-2時(shí)，h（x）在（-m，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-2＜m≤-1時(shí)，h（x）在：（-m，2），（2，+∞），上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞-1時(shí)，在（1，2），（2，+∞）上單調(diào)遞增；在（-m，1）單調(diào)遞減．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)單調(diào)性以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點(diǎn)，屬于中檔題．