Question

17．在矩形ABCD，AB=2，AD=1，邊DC上（包含點D、C）的動點P與CB延長線上（包含點B）的動點Q滿足|$\overline{DP}$|=|$\overline{BQ}$|，則向量$\overline{PA}$與向量$\overline{PQ}$的數(shù)量積$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設P（x，1），則Q（2，-x）（0≤x≤2），求得向量$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$，再由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值．

解答 解：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，
設P（x，1），則Q（2，-x）（0≤x≤2），
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-1），$\overrightarrow{PQ}$=（2-x，-x-1），
即有$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$=-x（2-x）+x+1=x²-x+1
=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
當x=$\frac{1}{2}$∈[0，2]時，取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，同時考查二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．