Question

已知⊙O方程為x²+y²=4,定點(diǎn)A(4,0),求過(guò)點(diǎn)A且和⊙O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡.

Answer 1

剖析：兩圓外切,連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和,兩圓內(nèi)切,連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之差,由此可得到動(dòng)圓圓心在運(yùn)動(dòng)中所應(yīng)滿足的幾何條件,然后將這個(gè)幾何條件坐標(biāo)化,即得到它的軌跡方程.

解法一：設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y),因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A,所以|PA|即動(dòng)圓半徑.

    當(dāng)動(dòng)圓P與⊙O外切時(shí),|PO|=|PA|+2;

    當(dāng)動(dòng)圓P與⊙O內(nèi)切時(shí),|PO|=|PA|-2.

    綜合這兩種情況,得||PO|-|PA||=2.

    將此關(guān)系式坐標(biāo)化,得

    |-|=2.

    化簡(jiǎn)可得(x-2)²-=1.

解法二：由解法一可得動(dòng)點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系

    ||OP|-|PA||=2,

    即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)O、A的距離差的絕對(duì)值為定值2,所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線,中心在OA中點(diǎn)(2,0),實(shí)半軸長(zhǎng)a=1,半焦距c=2,虛半軸長(zhǎng)b==,所以軌跡方程為(x-2)²-=1.