Question

（2006•海淀區(qū)一模）已知：函數(shù)f（x）=2cos²x+asinxcosx，f(

π

6

)=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象按向量m=(

π

6

，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ι）直接利用條件 f(

π

6

)=2×

3

4

+a×

1

2

×

3

2

=0，解方程求出a的值．
（ΙΙ）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2cos（2x+

π

3

）+1，令 2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（ΙII）在函數(shù)g（x）的圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)該點(diǎn)是由函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)P′（x′，y′）按向量

m

=（

π

6

，-1）平移后所得，得到這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，代入y′=2cos（2x′+

π

3

）+1中可得 g（x） 解析式．

解答：解：（Ι）由題意，f(

π

6

)=2×

3

4

+a×

1

2

×

3

2

=0，∴a=-2

3

．
（ΙΙ）函數(shù)f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）+1，
故最小正周期T=

2π

2

．
令 2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈z，解得 kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈z．
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]，k∈z．
（ΙII）在函數(shù)g（x）的圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)該點(diǎn)是由函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)
P′（x′，y′）按向量

m

=（

π

6

，-1）平移后所得，則

x=x′+ π 6 y=y′-1

，∴

x′=x- π 6 y′=y+1

．
代入 y′=2cos（2x′+

π

3

）+1中可得：y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，以及函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．