Question

觀察不等式sin²α+cos²（α+30°）+sinαcosα（α+30°）=

3

4

；
sin²α+cos²（α+45°）+

2

sinαcosα（α+45°）=

1

2

；
sin²α+cos²（α+60°）+

3

sinαcosα（α+60°）=

1

4

；
sin²α+cos²（α+90°）+2sinαcosα（α+90°）=0．
可猜想得出結(jié)論：sin2α+cos2（α+75°）+

 

sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：分析觀察得到等式的左邊第三項(xiàng)的系數(shù)為2倍的第二項(xiàng)中α加的度數(shù)的正弦，從而得到答案．

解答： 解：由于sin²α+cos²（α+30°）+sinαcosα（α+30°）=

3

4

，
即為sin²α+cos²（α+30°）+2sin30°sinαcosα（α+30°）=

3

4

；
sin²α+cos²（α+45°）+

2

sinαcosα（α+45°）=

1

2

，
即為sin²α+cos²（α+45°）+2sin45°sinαcosα（α+45°）=

1

2

；
sin²α+cos²（α+90°）+2sinαcosα（α+90°）=0，
即為sin²α+cos²（α+90°）+2sin90°sinαcosα（α+90°）=0．
故sin²α+cos²（α+75°）+2sin75°sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

，
即為sin²α+cos²（α+75°）+

6 + 2

2

sinαcosα（α+75°）=

2- 3

4

．
故答案為：

6 + 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理及應(yīng)用，注意觀察等式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．