Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成相應(yīng)角的正弦，化簡整理可求得cosA，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°=7，進(jìn)而根據(jù)b+c=4求得bc，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式求得△ABC面積．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，
∵sinB≠0
∴cosA=
又∵0°＜A＜180°，∴A=60°．
（Ⅱ）由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccos60°=7，
代入b+c=4得bc=3，
故△ABC面積為S=bcsinA=
點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用這兩個定理完成了邊角問題的互化．