Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$
（1）求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）若直線l交圓錐曲線C于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入消元法，可得直線l的普通方程；由3ρ²+ρ²sin²θ=12，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到所求直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），代入曲線C：3x²+4y²=12，可得x的二次方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求距離．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得直線l的普通方程為x+$\sqrt{3}$y+1=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，即為3ρ²+ρ²sin²θ=12，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x²+4y²=12；
（2）將直線l的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），代入曲線C：3x²+4y²=12，
可得13x²+8x-32=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{8}{13}$，x₁x₂=-$\frac{32}{13}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{64}{169}+4×\frac{32}{13}}$=$\frac{48}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和曲線相交的弦長(zhǎng)的求法，注意聯(lián)立直線方程和曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．