Question

4．已知a，b，c分別為△ABC的三邊長，且$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=0，求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 將三階行列式展開，求得a³+b³+c³-3abc=0，將a³+b³+c³-3abc分解因式為（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），然后根據(jù)a、b、c為正數(shù)，可得出a²+b²+c²-ab-bc-ca=0，配方后根據(jù)完全平方的非負性即可得出a=b=c，即可證明△ABC是等邊三角形．

解答 解：證明：由$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=a³+b³+c³-3abc=0
（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），
∵a，b，c為正數(shù)，
∴a+b+c＞0，
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查行列式的展開，考查因式分解及三角形性質(zhì)判斷及行列式的性質(zhì)的綜合應用，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．