Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn).

（1）求證：；

（2）試確定點(diǎn)的位置，使與平面所成角的大小為30°.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)時(shí)，與平面所成角的大小為

【解析】

（1）連結(jié)，通過證明平面，即可得.另外可以利用空間向量證明線線垂直；

（2）由⊥平面可得與平面所成角為，，在中可求出值，即可得到點(diǎn)的位置.另外還可以用空間向量法求線面角.

（1）證明：連結(jié)，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，

所以，，

又因?yàn)?/span>⊥平面，平面，

所以．由平面．

又因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）解法一：設(shè)，因?yàn)?/span>⊥平面，

所以與平面所成角為

在中，由．

所以，當(dāng)時(shí)，與平面所成角的大小為．

解法2：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，，．

設(shè),則

則，

因?yàn)?/span>，

所以;

（2）取平面的一個(gè)法向量為

因?yàn)?/span>，可知直線的一個(gè)方向向量為．

設(shè)與平面所成角為，由題意知．與所成的角為，

則，

因?yàn)?/span>，所以，，

解得，．

當(dāng)時(shí)，與平面所成角的大小為．