Question

如圖，曲線C₁是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線C₂是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A(

3

2

，

6

)是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，問(wèn)

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)曲線C₂所在的拋物線的方程為y²=2px，將A(

3

2

，

6

)代入可得p的值，利用橢圓的定義，可得曲線C₁所在的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），過(guò)F₂與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

，同理可得|y3-y4|=

16t2+16

，進(jìn)而可得

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

為定值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)曲線C₂所在的拋物線的方程為y²=2px，將A(

3

2

，

6

)代入可得6=2p×

3

2

，∴p=2
∴曲線C₂所在的拋物線方程為：y²=4x…（2分）
∴c=1，2a=

( 3 2 +1)2+( 6 )2

+

( 3 2 -1)2+( 6 )2

=6，
∴曲線C₁所在的橢圓的方程為

x2

9

+

y2

8

=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），過(guò)F₂與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（9+8t²）y²+16ty-64=0，
∴y1+y2=-

16t

9+8t2

，y1y2=-

64

9+8t2

，…（6分）
∴|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

直線x=ty+1，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y²-4ty-4=0，∴y₃+y₄=4t，y₃y₄=-4…（8分）
∴|y3-y4|=

16t2+16

∴

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|• 1 2 |y3+y4|

|y3-y4|• 1 2 |y1+y2|

=

(16t)2-4(-64)(9+8t2) 9+8t2 •|4t|

16t2+16• |16t| 9+8t2

=3
即

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

為定值3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．