Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以O(shè)為頂點，F(xiàn)₂（1，0）為焦點的拋物線的一部分，A(

3

2

，

6

)是曲線C₁和C₂的交點．
（I）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線的方程；
（II）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，與曲線C₂交于C，D兩點，求△CDF₁面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)出拋物線以及橢圓方程，根據(jù)F₂（1，0）為焦點，求出p=1，得到拋物線方程；再根據(jù)（

3

2

，

6

）在橢圓上，即可求出橢圓方程；
（II）設(shè)出直線方程x=my+1，并根據(jù)條件求出m的取值范圍；再聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達定理以及|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

求出三角形面積的表達式，最后結(jié)合m的取值范圍即可求出△CDF₁面積的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)拋物線方程為：y²=2px，由F₂（1，0）為焦點，所以p=1．∴y²=4x
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1；代入（

3

2

，

6

），解得a²=9，
所以橢圓方程為：

x2

9

+

y2

8

=1．
（II）設(shè)直線方程為：x=my+1，則m∈（-

6

12

，0）∪（0，

6

12

）．
由

y2=4x x=my+1

得y²-4my-4=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
所以S△F1CD=

1

2

×2×|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=4

m2+1

，因為m²∈（0，

1

24

）．
∴S_△∈（4，

5 6

3

）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決第二問的關(guān)鍵在于把△CDF₁面積轉(zhuǎn)化為上下兩個三角形面積的和，進而轉(zhuǎn)化為求|y₁-y₂|的問題．