Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=

1

an2-1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列所給的項和項間的關系，列出關于基本量的方程，解出等差數(shù)列的首項和公差，寫出數(shù)列的通項公式和前n項和公式．
（2）根據(jù)前面做出的數(shù)列構造新數(shù)列，把新數(shù)列用裂項進行整理變?yōu)閮刹糠值牟�，合并同類項，得到最簡結果，本題考查的是數(shù)列求和的典型方法--裂項法，注意解題過程中項數(shù)不要出錯．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

•(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵．是每年要考的一道高考題目．