Question

（2011•天津模擬）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（2）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），若四邊形DMEN的面積為

27

7

，求DE的直線方程．

Answer 1

分析：（I）由已知中橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），x=a²交x軸于點A，且

AF1

=2

AF2

，可得F₂為AF₁的中點，進而求出a²，b²的值后可得橢圓的方程．
（II）分析討論直線DE與x軸垂直和MN與x軸垂直及直線DE，MN均與x軸不垂直時，滿足四邊形DMEN的面積為

27

7

的條件，進而得到DE的直線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴|

F1F2

|=2c=2，
∴c=1
∵直線l：x=a²交x軸于點A，
∴A（a²，0）----------（1分）
∵

AF1

=2

AF2

∴F2為AF₁的中點------------（2分）
∴a²=3，b²=2------------（3分）
即：橢圓方程為

x2

3

+=1------------（4分）
（2）當直線DE與x軸垂直時，|DE|=2

b2

a

=

4

3

，此時|MN|=2a=2

3

，
四邊形DMEN的面積S=

|DE|•MN|

2

=4不符合題意故舍掉；------------（5分）
同理當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積積S=

|DE|•MN|

2

=4不符合題意故舍掉；------------（6分）
當直線DE，MN均與x軸不垂直時，
設DE：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0------------（7分）
設D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則

x1+x2= -6k2 2+3k2 x1•x2= 3k2-6 2+3k2

------------（8分）
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

2+3k2

，------------（9分）
所以|DE|=

k2+1

•|x₁-x₂|=

4 3 •(k2+1)

2+3k2

，------------（10分）
同理|MN|=

4 3 •[(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 •( 1 k2  +1)

2+ 3 k2

------------（12分）
所以四邊形的面積S=

|DE|•|MN|

2

=

1

2

•

4 3 •(k2+1)

2+3k2

•

4 3 •( 1 k2  +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

由S=

27

7

⇒k2=2或k²=

1

2

⇒k=±

2

，k=±

2

2

，
所以直線l_DE：

2

x-y+

2

=0或l_DE：

2

x+y+

2

=0或l_DE：

2

x-2y+

2

=0或l_DE：

2

x+2y+

2

=0-------（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．