在直角坐標系xOy中，點，點F為拋物線C：y=mx2（m＞0）的焦點，線段MF恰被拋物線C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）過點M作直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA、FM、FB的斜率分別為k1、k2、k3，問k1，k2，k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）確定焦點F的坐標、線段MF的中點坐標，代入拋物線方程，即可求m的值；
（Ⅱ）設(shè)出l方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，及k1，k2，k3能成公差不為零的等差數(shù)列，可得方程，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）焦點F的坐標為，線段MF的中點在拋物線C上，
∴，∴8m2+2m-1=0，∴（舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線C：x2=4y，F(xiàn)（0，1）．
設(shè)l方程為：，A（x1，y1）、B（x2，y2），
則由得：x2-4kx+8k+2=0，△=16k2-4（8k+2）＞0，
解得或． 
由韋達定理可得，，…（8分）
假設(shè)k1，k2，k3能成公差不為零的等差數(shù)列，則k1+k3=2k2．
而
=，…（11分）
∵，∴，8k2+10k+3=0，解得：（符合題意），（此時直線l經(jīng)過焦點F，k1=k2=k3，不合題意，舍去），…（14分）
直線l的方程為，即x+2y-1=0．
故k1，k2，k3能成公差不為零的等差數(shù)列，直線l的方程為：x+2y-1=0． …（15分）
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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