在復平面內(nèi)動點z=x+yi(x,y∈R),且滿足|z+
3
|+|z-
3
|=4,設(shè)動點z所應(yīng)對的(x,y)的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線y=kx+2與曲線C交于不同的兩點A,B,O是坐標原點,求
OA
OB
的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)根據(jù)橢圓的定義即可求曲線C的方程;
(2)若直線y=kx+2與曲線C交于不同的兩點A,B,O是坐標原點,求
OA
OB
的取值范圍.
解答: 解:(1)∵復平面內(nèi)動點z=x+yi(x,y∈R),且滿足|z+
3
|+|z-
3
|=4,
∴等價為P到定點M(
3
,0),N(-
3
,0)的距離之和為4,
則P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,其中c=
3
,2a=4,即a=2,則b=1,
則曲線C的方程
x2
4
+y2=1
;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+2
x2
4
+y2=1
得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由判別式△=(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,
整理得k2
3
4
,
則x1+x2=-
16k
1+4k2
,x1x2=
12
1+4k2
,
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)(
12
1+4k2
)+2k(-
16k
1+4k2
)+4=
17
1+4k2
-1,
∵k2
3
4
,∴1+4k2>4,
則0<
1
1+4k2
1
4

則0<
17
1+4k2
17
4
,
即-1<
17
1+4k2
-1<
13
4
,
OA
OB
的取值范圍是(-1,
13
4
).
點評:本題主要考查直線和橢圓的位置的應(yīng)用,根據(jù)條件確定曲線方程是解決本題的關(guān)鍵.綜合性強,運算量較大.
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OA
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OC
=
O
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心.

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