Question

如圖已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)．求證：直線恒過定點(diǎn)P．并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)A（0，1），求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，聯(lián)立橢圓方程，求出M，N的坐標(biāo)，可得kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

，k_MP=k_NP．即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)闄E圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)A（0，1）．
所以b=1，

c

a

=

3

2

，
所以a=2，b=1
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1…（3分）
（2）直線MN恒過定點(diǎn)P（0，-

3

5

)，下面給予證明：
設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，聯(lián)立橢圓方程，消去y得；（4k²+1）x²+8kx=0，
解得xM=-

8k

4k2+1

，yM=

1-4k2

4k2+1

同理可得：xN=

8k

k2+4

，yN=

k2-4

k2+4

…（8分）
kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

∴k_MP=k_NP．
故直線MN恒過定點(diǎn)P （0，-

3

5

）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．