Question

在四面體ABCD中，若AC與BD成60°角，且AC=BD=a，則連接AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)的四邊形面積為

 

．

Answer 1

分析：取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，連接EH，EF，F(xiàn)G，HG，可得EH∥BD，EH=

1

2

BD，并且FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，可得四邊形EFGH為平行四邊形，再結(jié)合題中條件可得：四邊形EFGH為菱形，進(jìn)而根據(jù)有關(guān)的條件求出四邊形的面積．

解答：解：取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，連接EH，EF，F(xiàn)G，HG，
所以得到：EH是△ABD的中位線，
所以EH∥BD，且EH=

1

2

BD．
同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=

1

2

BD，．
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四邊形EFGH為平行四邊形．
又因?yàn)锳C=BD=a，AC與BD所成的角為60°
所以EF=EH=

1

2

a，即四邊形EFGH為菱形，并且∠EFG=60°，
所以四邊形EFGH的面積是2×

3

4

×(

a

2

)2=

3

8

a2
故答案為：

3

8

a2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中線線平行的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)與異面直線的夾角問題，以及考查四邊形的面積，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，此題屬于中檔題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力與邏輯推理能力．