如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線l是橢圓的右準線．
（1）若橢圓C的離心率為
1
2
，直線l：x=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰好過原點，求橢圓C的離心率．
考點：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由e=
1
2
，右準線l的方程為x=4，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意，可得A，M，P三點共線，MQ⊥PQ，由此可得幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．
解答： 解：（1）由題意：
c
a
=
1
2
，
a2
c
=4，
∴c=1，a=2，b=
3
．
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
（（2）設(shè)M（x，y），P（
a2
c
，β），
∵A，M，P三點共線，
∴
y
x+a
=
β
a2
c
+a
，
∴β=
y(
a2
c
+a)
x+a
，…（9分）
由MP為圓的直徑，故OP⊥BM，
即-1=kOPkBM=
cy(
a2
c
+a)
a2 (x+a)
•
y
x-a
=
y2(a+c)
a (x2-a2)
=
b2(a+c)
-a3
=
(a2-c2)(a+c)
-a3
，
∴c2+ac-a2=0
∴e2+e-1=0，
解得e=
5
-1
2
．…（16分）
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標準方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x，x＞0
x+1，x≤0
，若f（a）+f（1）=0，則實數(shù)a的值等于（　　）
A、3B、1C、-1D、-3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以C為一個焦點過A，B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是（　　）
A、y2-
x2
48
=1
B、x2-
y2
48
=1
C、y2-
x2
48
=1（y≤-1）
D、x2-
y2
48
=1（y≤-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
）滿足：最大值為2，相鄰兩個最低點之間距離為π，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位長度，所得圖象關(guān)于點（
π
4
，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α∈[0，
π
2
]且f（
α
2
-
π
12
）=
8
5
，求sin（2α+
π
12
）的值；
（Ⅲ）設(shè)向量
a
=（f（x-
π
6
），1），
b
=（1，mcosx），x∈（0，
π
2
），若
a
•
b
+3≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
A
2
-
A
2
（2ωx+2φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
），且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2），
（1）求 A，ω，φ的值；
（2）計算f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知隨機變量X的分布列如下表
X12345
P 
1
10
 
3
10
a 
1
10
 
1
10
（1）求a；
（2）求P（X≥4）和P（2≤X＜5）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解不等式：x2-a＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有
f(a)+f(b)
a+b
＞0成立．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明．
（2）解不等式f（x+
1
2
）＞f（2x-
1
2
）．
（3）若f（x）≤m2-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2-3x，且在x=1時函數(shù)f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）若g（x）=x2-2x-1（x＞0），證明：當(dāng)x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．

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同步練習(xí)冊答案